Question

某唱片公司要發(fā)行一張名為《春風(fēng)再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圓》、《荷塘月色》等10首創(chuàng)新經(jīng)典歌曲．該公司計劃用x（百萬元）請李子恒老師進行創(chuàng)作，經(jīng)調(diào)研知：該唱片的總利潤y（百萬元）與（3-x）x²成正比的關(guān)系，當(dāng)x=2時y=32．又有

x

2(3-x)

∈（0，t]，其中t是常數(shù)，且t∈（0，2]．
（Ⅰ）設(shè)y=f（x），求其表達(dá)式，定義域（用t表示）；
（Ⅱ）求總利潤y的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（Ⅰ）設(shè)出正比例系數(shù)，把x=2，y=32代入函數(shù)關(guān)系式，求得正比例系數(shù)，則函數(shù)解析式可求，再由

x

2(3-x)

∈（0，t]求解分式不等式得x得取值范圍；
（Ⅱ）求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點在不在定義域范圍內(nèi)研究原函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)y=k（3-x）x²，
∵當(dāng)x=2時，y=32，
∴k=8，則y=24x²-8x³，
∵

x

2(3-x)

∈（0，t]，
∴0＜

x

2(3-x)

≤t，
即

x 2(3-x) ＞0    ① x 2(3-x) ≤t  ②

，
解①得：0＜x＜3．
解②得：x＜

6t

2t+1

或x＞3．
∴0＜x≤

6t

2t+1

；
（Ⅱ）由y′=-24x（x-2）=0，
得x=0或x=2．
若2≤

6t

2t+1

，即1≤t≤2時，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增，在（2，

6t

2t+1

）上單調(diào)遞減．
∴y_max=f（2）=32；
若2＞

6t

2t+1

，即0＜t＜1時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，

6t

2t+1

）上為增函數(shù)．
ymax=f(

6t

2t+1

)=

864t2

(2t+1)3

．
綜上述：當(dāng)1≤t≤2時，y_max=f（2）=32；
當(dāng)0＜t＜1時，ymax=

864t2

(2t+1)3

．

點評：本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，是中檔題．