Question

15．以下命題中：
①命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“?x₀∈R，f（x₀）g（x₀）≠0”；
②點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是P在y軸上的射影，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；
③命題“若P則q”與命題“若非p則非q”互為逆否命題；
④若過點(diǎn)C（1，1）的直線l交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點(diǎn)A，B，且C是AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命題的序號(hào)是①②④．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①，寫出命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定，即可判斷①的正誤；
對(duì)于②，依題意，作出圖形，利用拋物線的定義，可知|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$，即可判斷②的正誤；
對(duì)于③，寫出命題“若P則q”的逆否命題，即可判斷③的正誤；
對(duì)于④，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，兩式相減，結(jié)合C（1，1）是AB的中點(diǎn)，可得：k_AB=-$\frac{3}{4}$，從而可求得直線AB的方程，又即可判斷④的正誤．

解答 解：對(duì)于①，命題：“?x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“?x₀∈R，f（x₀）g（x₀）≠0”，故①正確；
對(duì)于②，點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是P在y軸上的射影，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A（3，6），設(shè)點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線x=-$\frac{1}{2}$上的射影為N，作圖如下：

由拋物線的定義知，|PN|=|PF|，故|PM|=|PN|-$\frac{1}{2}$，
則|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-$\frac{1}{2}$=|PA|+|PF|-$\frac{1}{2}$≥|AF|-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{（3-\frac{1}{2}）}^{2}{+（6-0）}^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$-$\frac{1}{2}$=6，
即|PA|+|PM|的最小值是6，故②正確；
對(duì)于③，命題“若p則q”與命題“若非q則非p”互為逆否命題，與命題“若非p則非q”互為否命題，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若過點(diǎn)C（1，1）的直線l交橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
兩式相減，整理得：k_AB=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{y}_{1}{+y}_{2}}$，又C（1，1）是AB的中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
所以k_AB=-$\frac{3}{4}$，
則直線l的方程是3x+4y-7=0，故④正確；
綜上所述，其中真命題的序號(hào)是①②④，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查四種命題之間的關(guān)系及全稱命題與特稱命題的轉(zhuǎn)化，考查拋物線定義與“點(diǎn)差法”的綜合運(yùn)用，特別是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題．