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【題目】已知圓C經過點A(﹣2,0),B(0,2),且圓心C在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點.

(1)求圓C的方程;

(2)若,求實數k的值;

(3)過點(0,4)作動直線m交圓C于E,F兩點.試問:在以EF為直徑的所有圓中,是否存在這樣的圓P,使得圓P經過點M(2,0)?若存在,求出圓P的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)x2+y2=4(2)k=0(3)存在圓P:5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4,使得圓P經過點M(2,0).

【解析】試題分析:(1)先求出AB中垂線方程,再與直線y=x聯立求出交點即為圓心,最后根據圓心到A點距離等于半徑,寫出圓方程(2)聯立直線y=kx+1與圓方程,根據向量數量積以及韋達定理化簡可得實數k的值;(3)E,F坐標,則可表示出以EF為直徑的圓方程,再設直線m點斜式方程與圓C方程聯立,利用韋達定理以及以EF為直徑的圓過點M(2,0)求出直線m斜率,代入即得以EF為直徑的圓方程,最后討論直線m斜率不存在時是否滿足題意

試題解析解:(1)設圓心C(a,a),半徑為r.

因為圓C經過點A(﹣2,0),B(0,2),

所以|AC|=|BC|=r,

解得a=0,r=2,

所以圓C的方程是x2+y2=4.

(2)因為=2×2×cos<>=﹣2,

的夾角為∠POQ,

所以cos∠POQ=﹣,∠POQ=120°,

所以圓心C到直線l:kx﹣y+1=0的距離d=1,

又d=,所以k=0.

(3)(。┊斨本m的斜率不存在時,

直線m經過圓C的圓心C,

此時直線m與圓C的交點為E(0,2),F(0,﹣2),

EF即為圓C的直徑,而點M(2,0)在圓C上,

即圓C也是滿足題意的圓.

(ⅱ)當直線m的斜率存在時,設直線m:y=kx+4,

,消去y整理,得(1+k2)x2+8kx+12=0,

由△=64k2﹣48(1+k2)>0,得

設E(x1,y1),F(x2,y2),

則有①…

由①得,②,③

若存在以EF為直徑的圓P經過點M(2,0),則ME⊥MF,

所以

因此(x1﹣2)(x2﹣2)+y1y2=0,

即x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2=0,…

,

所以16k+32=0,k=﹣2,滿足題意.…

此時以EF為直徑的圓的方程為x2+y2﹣(x1+x2)x﹣(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,

,

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0.…

綜上,在以EF為直徑的所有圓中,

存在圓P:5x2+5y﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4,使得圓P經過點M(2,0). …

練習冊系列答案
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