Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，若橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于點(diǎn)M，連結(jié)OM、PF₂，利用三角形中位線定理與圓的切線的性質(zhì)，證出PF₁⊥PF₂且|PF₂|=2b，然后在Rt△PF₁F₂中利用勾股定理算出|PF₁|．根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，從而建立關(guān)于a、b、c的等式，解出b=

2

3

a，c=

5

3

a，進(jìn)而可得橢圓的離心率的大�。�

解答： 解：設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于點(diǎn)M，連結(jié)OM、PF₂，
∵M(jìn)、O分別為PF₁、F₁F₂的中點(diǎn)，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵線段PF₁與圓O相切于點(diǎn)M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|=

4c2-4b2

=2

c2-b2

．
∴|PF₁|+|PF₂|=2

c2-b2

+2b=2a，
化簡(jiǎn)得2ab=a²-c²+2b²=3b²，
∴b=

2

3

a，c=

5

3

a，
∴離心率為e=

c

a

=

5

3

．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理、圓的切線的性質(zhì)、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．