Question

12．某化工企業(yè)2012年底投入169萬元，購入一套污水處理設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.7萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，第一年的維護(hù)費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加2萬元．
（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費用y（萬元）；
（2）問該企業(yè)幾年后重新更換新的污水處理設(shè)備最合算（即年平均污水處理費用最低）？平均最低費用是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x年的總費用除以年數(shù)x可得到年平均污水處理費用，可得到關(guān)系式．
（2）將關(guān)系式化簡為y=x+$\frac{169}{x}$+1.7（x＞0），根據(jù)均值不等式可求出年平均費用的最低值和對應(yīng)的年數(shù)．

解答 解：（1）由題意可知，年平均污水處理費用為：y=$\frac{169+0.7x+（2+4+6+…2x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}+1.7x+169}{x}$（x＞0）；
（2）由均值不等式得：y=x+$\frac{169}{x}$+1.7≥2$\sqrt{x•\frac{169}{x}}$+1.7=27.7（萬元）
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{169}{x}$，即x=13時取到等號
所以該企業(yè)13年后需要重新更換新設(shè)備，平均最低費用是27.7（萬元）．

點評 本土主要考查均值不等式的應(yīng)用．考查對基礎(chǔ)知識的理解和認(rèn)識．屬中檔題．