Question

數(shù)列a₀，a₁，a₂，…，滿足：a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

（[a_n]與{a_n}分別表示a_n的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分），則a₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，

3

=1+(

3

-1)，可得a₁=1+

1

3 -1

=1+

3 +1

2

=2+

3 -1

2

，a₂=2+

1

3 -1 2

=2a₁=4+(

3

-1)，…，通過觀察分析，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出規(guī)律：a_2n+1=2+3n+

3 -1

2

，a_2n+2=4+3n+(

3

-1)．進(jìn)而得出．

解答： 解：∵a₀=

3

，a_n+1=[a_n]+

1

{an}

，

3

=1+(

3

-1)，
∴a₁=1+

1

3 -1

=1+

3 +1

2

=2+

3 -1

2

，
a₂=2+

1

3 -1 2

=2a₁=4+(

3

-1)，
a3=4+

1

3 -1

=4+

3 +1

2

=5+

3 -1

2

，
a4=7+(

3

-1)，
a₅=8+

3 -1

2

，
a6=10+(

3

-1)，
…，
∴a_2n+1=2+3n+

3 -1

2

，
a_2n+2=4+3n+(

3

-1)．
∴a₂₀₁₂=a_2×1005+2=4+3×1005+(

3

-1)
=3019+(

3

-1)．
故答案為：3018+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過觀察分析歸納出規(guī)律、新定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．