Question

橢圓

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0），參數(shù)φ的范圍是（0≤φ＜2π）的兩個焦點為F₁、F₂，以F₁F₂為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，且|F₁F₂|=4，則a等于

 

．

Answer 1

考點：橢圓的參數(shù)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先將橢圓參數(shù)方程化為普通方程，可設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，連接AF₂，再由題設(shè)條件可知|AF₁|=

1

2

|F₁F₂|，∠F₁AF₂=90°，由|F₁F₂|=4，即c=2，由勾股定理求出|AF₂|，再由橢圓的定義求出a即可．

解答： 解：橢圓

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0），可化為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如圖設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，連AF₂，
由題設(shè)條件知|AF₁|=

1

2

|F₁F₂|=c，∠F₁AF₂=90°，又|F₁F₂|=4，
即2c=4，c=2，則|AF₁|=2，
|AF₂|=

F1F22-AF12

=

42-22

=2

3

，
由橢圓的定義知，|AF₁|+|AF₂|=2a，則2a=2+2

3

，
∴a=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，以及橢圓的簡單性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意運(yùn)用定義，是快速解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．