設(shè)函數(shù)F(x )=x2+aln(x+1)
(I)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求證:.
(Ⅰ); (II)見解析.

試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù),先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),讓,在[1,+∞)上是恒成立的,求解可得a的取值范圍;(II)令,依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根,記,則有,得,然后找的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)單調(diào)性,可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)在區(qū)間上恒成立,
區(qū)間上恒成立,       1分
.      3分
經(jīng)檢驗(yàn), 當(dāng)時(shí),,時(shí),,
所以滿足題意的a的取值范圍為.      4分
(Ⅱ)函數(shù)的定義域,,依題意方程在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根,記,則有,得.       6分
法一:,,
,令,    8分
,,,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020956701940.png" style="vertical-align:middle;" />,存在,使得,





-
0
+
,,,所以函數(shù)為減函數(shù),   10分
        12分
法二:6分段后面還有如下證法,可以參照酌情給分.
【證法2】為方程的解,所以,
,,,∴,
先證,即證),
在區(qū)間內(nèi),,內(nèi),所以為極小值,,
,∴成立;       8分
再證,即證,
,
       10分
,
,
,,,
,為增函數(shù).
 

綜上可得成立.         12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=+ax-lnx(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a≥2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)任意及任意,∈[1,2],恒有成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分15分)已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求最小值;
(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(3)求證:).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知常數(shù)、、都是實(shí)數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,的解集為
(Ⅰ)若的極大值等于,求的極小值;
(Ⅱ)設(shè)不等式的解集為集合,當(dāng)時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)(Ⅰ)若函數(shù)上單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅲ)若方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)根,求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)點(diǎn)P在曲線上,點(diǎn)Q在曲線上,則|PQ|最小值為(     )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上的值域是_____________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知,記,
().則++…+=                

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