Question

【題目】已知函數f（x）=loga （a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數．
（1）求f（0）的值和實數m的值；
（2）當m=1時，判斷函數f（x）在（﹣1，1）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（0）=loga1=0．

因為f（x）是奇函數，

所以：f（﹣x）=﹣f（x）f（﹣x）+f（x）=0

∴l(xiāng)oga +loga =0；

∴l(xiāng)oga =0 =1，

即∴1﹣m2x2=1﹣x2對定義域內的x都成立．∴m2=1．

所以m=1或m=﹣1（舍）

∴m=1．

（2）解：∵m=1

∴f（x）=loga ，

∴t= ，

設﹣1＜x1＜x2＜1，則t1﹣t2= ﹣ = ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0

∴t1＞t2．

當a＞1時，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．

∴當a＞1時，f（x）在（﹣1，1）上是減函數．

當0＜a＜1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當0＜a＜1時，f（x）在（﹣1，1）上是增函數

【解析】（1）f（0）=loga1=0，利用奇函數的定義，即可求出實數m的值；（2）當m=1時，f（x）=loga ，t= ，判斷其單調性，即可判斷與證明函數f（x）在（﹣1，1）上的單調性
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大�。虎圩鞑畋容^或作商比較，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．