Question

7．函數(shù)y=-x²+|x|，單調(diào)遞減區(qū)間為[$-\frac{1}{2}$，0），[$\frac{1}{2}$，+∞），最大值和最小值的情況為最大值為$\frac{1}{4}$，無(wú)最小值．

Answer 1

分析 去絕對(duì)值號(hào)便得到$y=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-x}&{x＜0}\end{array}\right.$，這樣根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，求出每段上的單調(diào)減區(qū)間即可，可判斷該函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可畫出該函數(shù)的草圖，根據(jù)圖象即可判斷其最大值和最小值情況．

解答 解：$y=-{x}^{2}+|x|=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴x≥0時(shí)，該函數(shù)在$[\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減；
x＜0時(shí)，該函數(shù)在$[-\frac{1}{2}，0）$上單調(diào)遞減；
∴該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$-\frac{1}{2}$，0），[$\frac{1}{2}，+∞$）；
該函數(shù)在（-∞，$-\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在[$-\frac{1}{2}，0$）上單調(diào)遞減，在[0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減；
且x=$-\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{4}$，x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{1}{4}$；
∴該函數(shù)有最大值$\frac{1}{4}$，無(wú)最小值．
故答案為：$[-\frac{1}{2}，0），[\frac{1}{2}，+∞）$，有最大值$\frac{1}{4}$，無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，以及分段函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值．