如圖，兩座建筑物AB，CD的底部在同一個水平面上，且均與水平面垂直，他們的高度分別是12m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=45°．
（Ⅰ）求BC的長度；
（Ⅱ）在線段AB上取一點P，從點P看建筑物CD的視角為∠CPD，問點P在何處時，∠CPD最大？
考點：兩角和與差的正切函數(shù)
專題：三角函數(shù)的求值,解三角形
分析：（Ⅰ）如圖，先求得tan∠DAE=
ED
AE
=
8
AE
，tan∠CAE=
CE
AE
=
12
AE
，再根據(jù)tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）利用兩角和的正切公式，化簡求得AE=24，可得故BC=AE的值．
（Ⅱ）由題意可得，∠CPD為銳角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．如圖，設CF=x，0≤x≤12，則DF=20-x，tan∠CPF=
x
24
，tan∠DPF=
20-x
24
，計算tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=
480
x2-20x+576
，可得當x=10時，tan∠CPD最大值，從而得出結論．
解答： 解：（Ⅰ）如圖，作AE⊥CD，E為垂足．
∵AB∥CD，AB=12，CD=20，∴ED=8，CE=12．
在Rt△DAE中，tan∠DAE=
ED
AE
=
8
AE
，
在Rt△CAE中，tan∠CAE=
CE
AE
=
12
AE
．
再根據(jù)∠CAD=45°，可得tan45°=tan（∠DAE+∠CAE）
=
tan∠DAE+tan∠CAE
1-tan∠DAE•tan∠CAE
=
8
AE
+
12
AE
1-
8
AE
•
12
AE
，
求得AE=24，或AE=-24（舍去）．
故BE=AC=24．
（Ⅱ）由題意可得，∠CPD為銳角，要使∠CPD最大，只要tan∠CPD最大．
如圖，作 PF⊥CD，F(xiàn)為垂足，則 PF=AE=24，
設CF=x，0≤x≤12，則DF=20-x，tan∠CPF=
x
PF
=
x
24
，
tan∠DPF=
x
PF
=
20-x
24
，
tan∠CPD=tan（∠CPF+∠DPF）=
tan∠CPF+tan∠DPF
1-tan∠CPF•tan∠DPF
=
x
24
+
20-x
24
1-
x
24
•
20-x
24
=
480
x2-20x+576
，
故當x=10時，tan∠CPD取得最大值為
120
119
，即當BP=10時，∠CPD取得最大值．
點評：本題主要考查直角三角形中的邊角關系，兩角和的正切公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
3
+y2=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=-3于點D（-3，m）．
（Ⅰ）求證：mk=1
（Ⅱ）若|OG|2=|OD|•|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設圓C1：x2+y2=5與拋物線C2：x2=2py（p＞0）在第一象限內(nèi)的交點為R（2，m）．
（Ⅰ）求m的值及拋物線C2的方程；
（Ⅱ）若P在拋物線C2在兩點O，R之間的部分運動，其中O為坐標原點，直線l過點P且與拋物線C2只有一個公共點，l與圓C1相交于兩點A，B，求△OAB的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)交通執(zhí)法部門從某日上午9時開始對經(jīng)過當?shù)氐?00輛超速車輛的速度進行測量并分組，并根據(jù)測得的數(shù)據(jù)制作了頻率分布表如下，若以頻率作為事件發(fā)生的概率．
組號超速分組頻數(shù)頻率
頻率
組距
1[0，20%）1760.08 z
2[20%，40%）120.060.30
3[40%，60%）6y0.15
4[60%，80%）40.020.10
5[80%，100%]x0.010.05
（Ⅰ）求x，y，z的值，并估計該地區(qū)的超速車輛中超速不低于20%的頻率；
（Ⅱ）若在第2，3，4，5組用分層抽樣的方法隨機抽取12名司機做回訪調查，并在這12名司機中任意選3人，求這3人中超速在[20%，80%）之間的人數(shù)的數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2-（
2
n
+1）an（n∈N+）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
an
n
}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{2n+1an+1}的前n項和為Tn，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，sin
A
2
=
5
5
，b2+c2-a2=6．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圓半徑．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2=3的半徑等于橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi)，且到直線l：y=x-
6
的距離為
3
-
2
2
，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：|AF|-|BF|=|BM|-|AM|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，要計算東湖岸邊兩景點B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BDA=60°，∠CBD=15°，試求兩景點B與C的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離散型隨機變量ξ的分布列如表，Eξ=0，Dξ=1，則a+b=
 
．
ξ-1012
Pabc
1
12

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