【題目】設(shè)橢圓E: (a>b>0),其長軸長是短軸長的 倍,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過右焦點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),在線段OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:不妨設(shè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(c,0),

則過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(c,y0),

代入 可得,y0= ,

因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為2

所以 ,

由題意得,a= b,代入上式解得:a=2 、b= ,

故所求橢圓方程為


(2)解:假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)( )滿足條件,

∵直線與x軸不垂直,

∴設(shè)直線l的方程為

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

,可得

,

, ,其中x2﹣x1≠0,

∵以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,

∴(x1+x2﹣2m)(x2﹣x1)+(y1+y2)(y2﹣y1)=0.

∴x1+x2﹣2m+k(y1+y2)=0.

化簡得 = (k≠0),

在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)符合條件,且


【解析】(1)由題意先求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo),再列出方程求出a、b的值,代入橢圓方程即可;(2)先假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0)( )滿足條件,由點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程,以及P、Q的坐標(biāo),將直線方程代入橢圓方程化簡后,利用韋達(dá)定理、菱形的等價(jià)條件、向量知識(shí),可求出m的范圍,再進(jìn)行判斷.

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(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(不必寫出演算過程)

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(1)求媒體甲選中3號(hào)且媒體乙未選中3號(hào)歌手的概率;
(2)X表示3號(hào)歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
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(2)當(dāng)c= +1時(shí),若f(x)≥ 對(duì)x∈(c,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(x1 , f(x1))、Q(x2 , f(x2))兩處的切線分別為l1、l2 . 若x1= ,x2=c,且l1⊥l2 , 求實(shí)數(shù)c的最小值.

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