Question

已知如圖長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，E是上底面中心，F(xiàn)，M為A₁B₁與CD的中點．
（Ⅰ）寫出C₁M與平面EFAD的位置關系并證明．
（Ⅱ）求證：平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）求幾何體B₁EF-BDA的表面積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）C₁M∥平面EFAD．由已知條件條件出C₁M∥AF，由此能證明C₁M∥平面EFAD．
（Ⅱ）由已知條件推導出AD⊥平面B₁BAF，由此能證明B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）幾何體B₁EF-BDA的表面積：S=S_梯形ADEF+S梯形BDEB1+S梯形ABB1F+S△B1EF+S_△ABD，由此能示出結果．

解答： （Ⅰ）解：C₁M∥平面EFAD．證明如下：
由題意知A₁F∥CM，AA₁∥CC₁，
又CC₁∩CM=C，∴面CC₁M∥面A₁AF，
又C₁M與AF共面，∴C₁M∥AF，
∵AF?平面EFAD，C₁M不包含于平面EFAD，
∴C₁M∥平面EFAD．
（Ⅱ）證明：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AD⊥平面AA₁B₁B，即AD⊥平面B₁BAF，
又AD?平面EFAD，
∴平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）解：∵AB=AD=2AA₁=4，
E是上底面中心，F(xiàn)，M為A₁B₁與CD的中點，
∴幾何體B₁EF-BDA的表面積：
S=S_梯形ADEF+S梯形BDEB1+S梯形ABB1F+S△B1EF+S_△ABD
=

1

2

(2+4)•

7

+

1

2

(2

2

+4

2

)•2+

1

2

(2+4)•2+

1

2

×2×2+

1

2

×4×4
=3

7

+6

2

+16．

點評：本題考查C₁M與平面EFAD的位置關系的判斷與證明，考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體B₁EF-BDA的表面積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．