Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）圓O是以橢圓E的長軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點(diǎn)，過M點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)∠PMQ=60°時，試證明點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)在圓O上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 6 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m），由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進(jìn)而以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程．由此能證明點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)在圓O上．

解答： （1）解：∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
且經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），
∴

c a = 2 2 6 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，c²=4，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）證明：連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m）
由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，
知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，
∵|OP|=2

2

，∴|OM|=4

2

，
∴

16+m2

=4

2

，∵m＞0，∴m=4，
∴M（-4，4），
∴以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8
與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程為：x-y+2=0．
|OM|=

16+16

=4

2

，O到直線PQ的距離d=

|2|

2

=

2

，
∴M到直線PQ的距離4

2

-

2

=3

2

，
∴點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)到直線PQ的距離為3

2

，
∵圓O的半徑r=2

2

，O到直線PQ的距離為

2

，
∴點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)在圓O上．

點(diǎn)評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是確定M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定以O(shè)M為直徑的圓K的方程．