Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的橢圓C₁的焦點(diǎn)在拋物線C₂：y²=-4x的準(zhǔn)線上，且橢圓C₁的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C₁的方程，
（2）若直線l與橢圓C₁相切于第一象限內(nèi)，且直線l與兩坐標(biāo)軸分別相交與A，B兩點(diǎn)，試探究當(dāng)三角形AOB的面積最小值時(shí)，拋物線C₂上是否存在點(diǎn)到直線l的距離為

2 42

21

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意設(shè)橢圓C₁的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

c=1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式能推導(dǎo)出拋物線C₂上不存在點(diǎn)到直線l的距離為

2 42

21

．

解答： 解：（1）∵橢圓C₁的焦點(diǎn)在拋物線C₂：y²=-4x的準(zhǔn)線上，且橢圓C₁的離心率為

1

2

．
∴橢圓焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓C₁的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

c=1 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵直線l與橢圓C₁相切于第一象限內(nèi)，
∴直線l的斜率存在且小于零，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由題可知，△=0，
∴m²=4k²+3，
S△AOB=

1

2

|m•(-

m

k

)|=

1

2

|

4k2+3

k

|=

1

2

•(4|k|+

3

|k|

)≥2

3

當(dāng)4|k|=

3

|k|

即k=-

3

2

時(shí)上式等號(hào)成立，
此時(shí)m=

6

，直線l為y=-

3

2

x+

6

設(shè)點(diǎn)D(-

y 2 0

4

，y0)為拋物線C₂上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)D到直線l的距離為d=

|- 3 4 y 2 0 +2y0-2 6 |

7

=

| 3 y 2 0 -8y0+8 6 |

4 7

，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)知d≥

6 2 -4

21

=

2 42 (3- 2 )

21

＞

2 42

21

，
∴拋物線C₂上不存在點(diǎn)到直線l的距離為

2 42

21

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查當(dāng)三角形面積最小時(shí)滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．