Question

已知過點P（1，2）的直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，則△AOB的面積最小為

 

．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，把點P（1，2）代入可得

1

a

+

2

b

=1．可得a=

b

b-2

（b＞2）．由于S_△OAB=

1

2

ab=

b2

2(b-2)

，變形利用基本不等式即可得出．

解答： 解：設(shè)A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．
則直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
把點P（1，2）代入可得

1

a

+

2

b

=1．
∴a=

b

b-2

（b＞2）．
∴S_△OAB=

1

2

ab=

b2

2(b-2)

=

1

2

(b-2+

4

b-2

+4)≥

1

2

(2

(b-2)• 4 b-2

+4)=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=4，a=2時取等號．
∴△AOB的面積最小為4．
故答案為：4．

點評：本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．