Question

已知函數(shù)f(x)=

sin2x(sinx+cosx)

cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)和分式的分母不為零，解關于x的不等式cosx≠0，即得函數(shù)的定義域；再利用二倍角的三角公式與輔助角公式化簡，可得 f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，從而得出最小正周期T=π；
（II）由x∈[-

π

6

，

π

4

]得2x-

π

4

∈[-

7π

12

，

π

4

]，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為cosx≠0，所以x≠kπ+

π

2

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}          …（2分）
f(x)=

sin2x(sinx+cosx)

cosx

=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+sin2x
=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1                   …（5分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π             …（7分）
（Ⅱ）因為x∈[-

π

6

，

π

4

]，所以2x-

π

4

∈[-

7π

12

，

π

4

]…（9分）
當2x-

π

4

=

π

4

時，即x=

π

4

時，f（x）的最大值為2；      …（11分）
當2x-

π

4

=-

π

2

時，即x=-

π

8

時，f（x）的最小值為-

2

+1．…（13分）

點評：本題給出三角函數(shù)式，要求將函數(shù)式化簡，并求周期與最值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．