Question

幾何特征與圓柱類似，底面為橢圓面的幾何體叫做“橢圓柱”．圖1所示的“橢圓柱”中，A′B′，AB和O′，O分別是上、下底面兩橢圓的長(zhǎng)軸和中心，F(xiàn)₁、F₂是下底面橢圓的焦點(diǎn)．圖2是圖1“橢圓柱”的三視圖及其尺寸，其中俯視圖是長(zhǎng)軸在一條水平線上的橢圓．

（Ⅰ）若M，N分別是上、下底面橢圓的短軸端點(diǎn)，且位于平面AA′B′B的兩側(cè)．
①求證：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)N是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，N′是點(diǎn)N在上底面的投影，且N′F₁，N′F₂與下底面所成的角分別為α、β，請(qǐng)先直觀判斷tan（α+β）的取值范圍，再嘗試證明你所給出的直觀判斷．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）（i）連結(jié)O′M，由已知條件推導(dǎo)出O′M⊥平面AA′B′B，ON⊥平面AA′B′B，所以O(shè)′M∥ON，由此能證明OM∥平面AA′B′B．
（ii）以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OO′所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)N為下底面上橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，tan（α+β）=-

3

；當(dāng)點(diǎn)N為下底面上橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)（如右頂點(diǎn)）時(shí)，tan(α+β)=-

4 3

5

，直觀判斷tan（α+β）的取值范圍是[-

3

，-

4 3

5

]．由已知條件推導(dǎo)出∠N′F1N，∠N′F2N分別為N′F₁，N′F₂與下底面所成的角，∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，由此能證明tan（α+β）的取值范圍是[-

3

，-

4 3

5

]．

解答： （Ⅰ）（i）證明：連結(jié)O′M，O′N，∵O′O⊥底面A′B′N′，O′M?底面A′B′N′，
∴O‘O⊥O′M，∵O′M⊥A′B′，O′O?平面AA′B′B，A′B′?平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，
∴O′M⊥平面AA′B′B，同理ON⊥平面AA′B′B，∴O′M∥ON，
又O′M=ON，∴四邊形ONO′M為平行四邊形，
又∵OM不包含于平面AA′B′B，O′N?平面AA′B′B，
∴OM∥平面AA′B′B．
（ii）解：由題意得AA′=

6

，底面上的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2

2

，短軸長(zhǎng)為2，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OO′所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則有F₂（1，0，0），N（0，1，0），A′(-

2

，0，

6

)，B′(

2

，0，

6

)，

NA′

=(-

2

，-1，

6

)，

NB′

=(

2

，0，

6

)，
∴

NA′

=（0

2

，-1，

6

），

NB′

=(

2

，-1，

6

)，
∵z軸⊥平面ABN，∴取平面ABN的一個(gè)法向量

n

=(0，0，1)，
設(shè)平面A′B′N的一個(gè)法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • NA′ =- 2 x-y+ 6 z=0 m • NB′ = 2 x-y+ 6 z=0

，取z=1，得

m

=(0，

6

，1)，
設(shè)平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

7

|=

7

7

，
∴平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值為

7

7

．
（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)N為下底面上橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，
NF1=NF2=

2

，tanα=tanβ=

NN′

NF1

=

6

2

=

3

，
α=β=

π

3

，α+β=

2π

3

，tan（α+β）=-

3

；
當(dāng)點(diǎn)N為下底面上橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)（如右頂點(diǎn)）時(shí)，
NF₁=

2

+1，NF₂=

2

-1，
tanα=

NN‘

NF1

=

6

2 +1

，tanβ=

MN′

NF1

=

6

2 -1

，
tan(α+β)=-

4 3

5

，
直觀判斷tan（α+β）的取值范圍是[-

3

，-

4 3

5

]，
∵N′是點(diǎn)N在上底面的投影，∴N′N⊥上底面O′，
∵上下底面互相平行，∴N′N⊥平面ABN，
∴∠N′F1N，∠N′F2N分別為N′F₁，N′F₂與下底面所成的角，
∴∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，
又∵NF₁，NF₂?平面ABN，∴NN′⊥NF₁，NN′⊥NF₂，
設(shè)NF₁=m，NF₂=n，則m+n=2

2

，且tanα=

6

m

，tanβ=

6

n

，
∴tan（α+β）=

6 m + 6 n

mn-6

=

4 3

mn-6

，
∵m+n=2

2

，
∴mn=m（2

2

-m）=-（m-

2

）²+2，
又∵-5≤mn-6≤-4，-

3

≤

4 3

mn-6

≤-

4

5

3

，
∴tan（α+β）的取值范圍是[-

3

，-

4 3

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩角和正切值取值范圍的求法與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．