Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁、B₂，焦點(diǎn)為F₁、F₂，四邊形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)切圓半徑為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦F₁點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)P，設(shè)

PM

=λ

MF1

，

PN

=μ

NF2

，試證λ+μ為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)四邊形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)切圓與邊B₂F₂的切點(diǎn)為G，連接OG，則|OG|=

3

2

．由S△OB2F2利用等積法得bc=

3

2

a，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，整理得 （3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明λ+μ=0為定值．

解答： （Ⅰ）解：如圖所示，設(shè)四邊形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)切圓與邊B₂F₂的切點(diǎn)為G，
連接OG，則|OG|=

3

2

．由S△OB2F2=

1

2

|OB2|•|OF2|=

1

2

|B2F2|•|OG|，
|OB₂|=b，|OF₂|=c，|B₂F₂|=a，
得bc=

3

2

a，又e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，解得a=2，b=

3

，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：根據(jù)已知條件可設(shè)直線MN的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，整理得 （3+4k²）x²+8k²x+4（k²-3）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x1+x2=- 8k2 3+4k2 x1x2= 4(k2-3) 3+4k2

．
又P（-4，-3k），由

PM

=λ

MF1

，

PN

=μ

NF1

，
得λ=-

x1+4

x1+1

，μ=-

x2+4

x2+1

．…（9分）
∴λ+μ=-

x1+4

x1+1

-

x2+4

x2+1

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

，
∵2x₁x₂+5（x₁+x₂）+8
=2•

4(k2-3)

3+4k2

+5(-

-8k2

3+4k2

)+8
=

8k2-24-40k2+32k2+24

3+4k2

=0，
∴λ+μ=0為定值．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．