Question

20．（1）已知方程x²+（m-3）x+m=0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的分布可得答案．
（2）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論求解．

解答 解：方程x²+（m-3）x+m=0有兩個(gè)不等正實(shí)根，
即${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}＞0$，${{x}_{2}x}_{1}=\frac{c}{a}＞0$，△=b²-4ac＞0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{m＞0}\\{（m-3）^{2}-4m＞0}\end{array}\right.$
解得：0＜m＜1．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）．
（2）（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對(duì)任意x∈R恒成立．
①若m²-2m-3=0，則m=-1或m=3．
當(dāng)m=-1時(shí)，不合題意；當(dāng)m=3時(shí)，符合題意．
②若m²-2m-3≠0，設(shè)f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對(duì)任意x∈R恒成立．
則：m²-2m-3＜0，△=b²-4ac＜0，
解得：$-\frac{1}{5}＜m＜3$．
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{5}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根的分布以及一元二次不等式的解法計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題．