Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，f（2）=1，對于一切x，y∈R⁺滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，求出f（1）；令x=y=2，可求出f（4）；
（2）將不等式f（x）+f（x-3）≤2轉(zhuǎn)化為f（x（x-3））≤f（4），運用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出解集．

解答： 解：（1）由于f（2）=1，對于一切x，y∈R⁺，都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，則f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，則f（4）=2f（2）=2；
（2）不等式f（x）+f（x-3）≤2即f（x）+f（x-3）≤f（4），即f（x（x-3））≤f（4），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

即

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

即3＜x≤4，解集為（3，4]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，注意定義域的運用，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．