Question

20．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12$\sqrt{6}$海里；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8$\sqrt{3}$海里；貨輪向正北由A處行駛到D處時(shí)看燈塔B在貨輪的北偏東120°．
（1）請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)用鉛筆與直尺畫(huà)出圖形，并標(biāo)明三個(gè)角度的位置和大��；
（2）A處與D處之間的距離；
（3）燈塔C與D處之間的距離（用近似值表示，四舍五入，取整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，可正確標(biāo)注出每個(gè)角的位置和大�。�
（2）在三角形ABD中，利用正弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入求出AD的長(zhǎng)，即可確定出貨船的航行速度；
（3）在三角形ACD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入計(jì)算即可求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，正確標(biāo)注出每個(gè)角的位置和大小…3分
（2）在△ABD中，∠ADB=60°，∴∠B=45°，…5分
由正弦定理，得，$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}$…6分
即AD=$\frac{12\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=24（海里）…8分
（3）在△ACD中，∵AC=8$\sqrt{3}$，∠CAD=30°，
∴由余弦定理得CD²=AD²+AC²-2AD•ACcos∠CAD
=24²+（8$\sqrt{3}$）²-2×24×8$\sqrt{3}$cos30°=192，…12分
解得：CD=8$\sqrt{3}$≈14（海里）…14分
答：A處與D處之間的距離為24海里；燈塔C與D處之間的距離大約14海里．                    …15分．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．