Question

5．證明：設(shè)m是任一正整數(shù)，則a_m=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{m}}$不是整數(shù)．

Answer 1

分析 分別在原式兩邊乘以M，再乘以N（最小公倍數(shù)），再根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)和假設(shè)的方式，使得命題得以證明．

解答 證明：當(dāng)m=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，顯然不是整數(shù)，結(jié)論成立．
下面證明，當(dāng)m≥2時(shí)，a_m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$也不可能是整數(shù)．
設(shè)S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$，令M=2^m，在S兩邊同時(shí)乘以M得：MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1，
等式右邊的每一項(xiàng)$\frac{M}{k}$（k=1，2，3，…，2^m），要么是整數(shù)，要么是一個(gè)分母為奇數(shù)的不可約分?jǐn)?shù)，
再來(lái)考察那些分母為奇數(shù)的不可約分?jǐn)?shù)的項(xiàng)．
因?yàn)閙≥2，故在所有的分母當(dāng)中（都是奇數(shù)）必定存在一個(gè)最大的奇素?cái)?shù)，
設(shè)它為p，這樣在分母中去掉p，設(shè)余下的奇數(shù)的最小公倍數(shù)為N，
在MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1兩邊再同時(shí)乘以N，得到MNS=$\frac{MN}{2}$+$\frac{MN}{3}$+$\frac{MN}{4}$+…+N．
等式右邊的每一項(xiàng)$\frac{MN}{k}$（k=1，2，3，…，…，2^m），僅當(dāng)k=p時(shí)，$\frac{MN}{k}$不是整數(shù)，其他的項(xiàng)都是整數(shù)．
所以等式右邊最后得到的不是整數(shù)，因此，等式左邊的MNS也不是整數(shù)，
顯然，若S是整數(shù)，那么就與MNS不是整數(shù)相矛盾！
所以a_m不可能是整數(shù)．證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了整數(shù)的性質(zhì)，涉及到整除，素?cái)?shù)，最小公倍數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)多次構(gòu)造使得命題得以證明，屬于難題．