Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，前n項的和為S_n，且對任意的n∈N^*有（n+1）a_n-2S_n=3n-3成立．
（1）求a₂，a₃的值并推導{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{

1

an

}的前n項和為T_n，若T_2n+1-T_n≤

m

15

對n∈N^*恒成立，試確定正整數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（1）由數(shù)列遞推式結合首項直接求得a₂，a₃的值．在遞推式中用S_n-S_n-1替換a_n，利用累加法求得S_n，則
{a_n}的通項公式可求；
（2）由（1）中求得的通項公式得到

1

an

，把T_2n+1-T_n≤

m

15

轉化為

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

≤

m

15

．
利用放縮法求出不等式左邊的最大值

14

45

，求解

m

15

≥

14

45

得正整數(shù)m的最小值．

解答： 解：（1）由a₁=1，（n+1）a_n-2S_n=3n-3，得
3a₂-2（a₁+a₂）=3，解得a₂=5．
4a₃-2（a₁+a₂+a₃）=6，解得a₃=9．
∵（n+1）a_n-2S_n=3n-3，
∴（n+1）（S_n-S_n-1）-2S_n=3n-3（n≥2），
即（n-1）S_n-（n+1）S_n-1=3（n-1），
得

Sn

(n+1)n

-

Sn-1

n(n-1)

=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)．
累加可得

Sn

(n+1)n

=

2n-1

n+1

，
∴Sn=2n2-n．
∴a_n=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3 （n≥2），
經(jīng)驗證a₁=1適合上式．
∴a_n=4n-3；
（2）由（1）知，

1

an

=

1

4n-3

，
∴T_2n+1-T_n≤

m

15

可化為

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

≤

m

15

．
令Pn=

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

．
則Pn+1=

1

4n+5

+

1

4n+9

+…+

1

8n+1

+

1

8n+5

+

1

8n+9

．
∴Pn+1-Pn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜

1

8n+2

+

1

8n+2

-

1

4n+1

=0．
∴當n=1時，P_n取得最大值

1

5

+

1

9

=

14

45

．
由

m

15

≥

14

45

，解得：m≥

14

3

．
∴正整數(shù)m的最小值為5．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列和的求法，訓練了放縮法求解數(shù)列不等式，屬難題．