Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．
（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值；
（3）若f（x）＞x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）根據(jù)a的取值范圍分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．
（3）由f(x)＜x2?lnx-

a

x

＜x2，得a＞xlnx-x³，令g（x）=xlnx-x³，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

a

x

，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1），當a≥0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

，不舍題意，舍；
當-e＜a＜0時，f（x）在[1，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，解得a=-

e

；
當a＜-e時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，不合題意，舍；
綜上所述，a=-

e

．
（3）∵f(x)＜x2?lnx-

a

x

＜x2，∴a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，則g′（x）=lnx+1-3x²，g″(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

，
當x＞1時，g''（x）＜0，∴g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g′（x）＜g′（1）=2＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（1）=-1．
∴a≥-1．
∴f（x）＞x²在（1，+∞）上恒成立，a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實數(shù)取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．