【題目】設函數(shù) .
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個數(shù).
【答案】
(1)解:∵ = ,解f′(x)>0,得 ;解f′(x)<0,得 .
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ;單調(diào)遞減區(qū)間為 .
故f(x)在x= 取得最大值,且
(2)解:函數(shù)y=|lnx|,當x>0時的值域為[0,+∞).如圖所示:
①當0<x≤1時,令u(x)=﹣lnx﹣ ﹣c,
c= =g(x),
則 =- .
令h(x)=e2x+x﹣2x2,則h′(x)=2e2x+1﹣4x>0,∴h(x)在x∈(0,1]單調(diào)遞增,
∴1=h(0)<h(x)≤h(1)=e2﹣1.
∴g′(x)<0,∴g(x)在x∈(0,1]單調(diào)遞減.
∴c .
②當x≥1時,令v(x)=lnx﹣ -c,得到c=lnx﹣ =m(x),
則 = >0,
故m(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴c≥m(1)= .
綜上①②可知:當 時,方程|lnx|=f(x)無實數(shù)根;
當 時,方程|lnx|=f(x)有一個實數(shù)根;
當 時,方程|lnx|=f(x)有兩個實數(shù)根.
【解析】(1)利用導數(shù)的運算法則求出f′(x),分別解出f′(x)>0與f′(x)<0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與最值;(2)分類討論:①當0<x≤1時,令u(x)=﹣lnx﹣ ﹣c,②當x≥1時,令v(x)=lnx﹣ -c.利用導數(shù)分別求出c的取值范圍,即可得出結(jié)論.
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【題目】甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每小時可獲得的利潤是100(5x+1﹣ )元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
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【題目】某校高一(1)班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,可見部分如圖.
(1)求分數(shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù);
(2)求分數(shù)在之間的頻數(shù),并計算頻率分布直方圖中間矩形的高.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,函數(shù)的圖象恒不在軸的上方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】甲乙兩支排球隊進行比賽,先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 ,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 .設各局比賽結(jié)果相互獨立.
(1)分別求甲隊3:0,3:1,3:2勝利的概率;
(2)若比賽結(jié)果3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分,對方得1分,求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就是越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和浮動費率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機構(gòu)為了 某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定, ,記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求的分布列與數(shù)學期望;(數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車,假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,直線:.設圓的半徑為1,圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線的方程;
(2)若圓心上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.
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【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
(2)通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“課外體育達標”性別有關(guān)?
參考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
經(jīng)計算的觀測值. 參照附表,得到的正確結(jié)論是
附表:
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 20 | 30 | 50 |
總計 | 60 | 50 | 110 |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
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