【題目】已知函數(shù)f(x)= ,其中a,b,c∈R.
(1)若a=b=c=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=c=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=1,b=1,c=1,f′(x)= ,
∴0<x<1,f′(x)<0,x<0或x>1時(shí),f′(x)>0,
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,0),(1,+∞)
(2)解:若b=c=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1總成立,則a≥0.
a=0,f(x)= ,f′(x)= ≥0,
∴f(x)min=f(0)=1;
a>0,f′(x)= ,
0<a≤ ,f(x)min=f(0)=1;a≥ ,f(x)在[0, ]上為減函數(shù),
在[ ,+∞)上為增函數(shù),
f(x)min<f(0)=1,不成立,
綜上所述,0≤a≤
【解析】(1)若a=1,b=1,c=1,求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若b=c=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1總成立,先確定a≥0,在分類討論,確定函數(shù)的最小值,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過點(diǎn)P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 , x2 , 求證:x1x2>e2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點(diǎn)列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin(x+ )cos(x﹣ )﹣cos2x﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[﹣ , π]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,y∈R)通過令x=n,y=1,說明{f(n)}是以f(1)=為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表達(dá)式,利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,即可說明不等式成立.
(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]
=f(n-1)·f(1)=f(n-1).
∴當(dāng)n≥2時(shí),=.
又f(1)=,
∴數(shù)列{f(n)}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
∴f(n)=f(1)·()n-1=()n.
(2)證明:由(1)可知,
an=n·()n=n·,
設(shè)Sn=a1+a2+…+an,
則Sn=+2×+3×+…+(n-1)·+n·,①
∴Sn=+2×+…+(n-2)·+(n-1)·+n·.②
①-②得,
Sn=+++…+-n·
=-=1--,
∴Sn=2--<2.
即a1+a2+…+an<2.
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和的求法,考查不等式的證明,裂項(xiàng)法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用,數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯(cuò)位相減,裂項(xiàng)求和,分組求和等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a (a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.
(1)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若an+1≥an,n∈N+,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S3=9,a2a4=21,數(shù)列{bn}滿足 ,若 ,則n的最小值為( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗,2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo).
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程。
(2)求出直線l與曲線C相交后的弦長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線和圓交于兩點(diǎn), 是圓上不同于的任意一點(diǎn).
(1)求圓心的極坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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