Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x+

a

x

，g（x）=e^x-1，若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，由單調(diào)性易求g（x）_max，分0＜a≤1，a＞1兩種情況討論，0＜a≤1時(shí)利用基本不等式可求f（x）_min，a＞1時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可求f（x）_min．

解答： 解：對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，
∵g（x）=e^x-1在（0，1]上單調(diào)遞增，∴g（x）_max=g（1）=e-1；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）=x+

a

x

≥2

x• a x

=2

a

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

時(shí)取等號(hào)，
∴f(x)min=2

a

，
由2

a

≥e-1解得1≥a≥

(e-1)2

4

．
當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）=1-

a

x2

＜0，f（x）在（0，1]上遞減，
∴f（x）_min=f（1）=1+a．
由1+a≥e-1解得a≥e-2，∴a＞1．
綜上，a的取值范圍是a≥

(e-1)2

4

，
故答案為：a≥

(e-1)2

4

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立問題，恒成立問題戊烷轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，基本不等式、導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的常用方法，要熟練掌握．