如圖,四面體OABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=
3
OB=OC=1,給出下列命題:
①存在點D(點O除外),使得四面體DABC僅有3個面是直角三角形;
②存在點D,使得四面體DOBC的4個面都是直角三角形;
③存在唯一的點D,使得四面體DABC是正棱錐(底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐);
④存在唯一的點D,使得四面體DABC與四面體OABC的體積相等;
⑤存在無數(shù)個點D,使得AD與BC垂直且相等.
其中正確命題的序號是
 
.(把你認為正確命題的序號都填上)
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱錐的結構特征
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:對于①,當四面體D-ABC與四面體O-ABC一樣時,即四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直,此時點D,使四面體ABCD有三個面是直角三角形;
②DC⊥平面OBC時,四面體DOBC的4個面都是直角三角形;
③根據(jù)對稱性,可知,在平面ABC的兩側均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐,;
④使得D與平面ABC的距離等于O與平面ABC的距離的點有無數(shù)個;
⑤取BD=AB,CD=AC,AD=BC,AD中點E,可得BE⊥AD,CE⊥AD,從而AD垂直面BEC,即存在無數(shù)個點D,使得AD與BC垂直且相等,由此可得結論.
解答: 解:對于①,∵四面體OABC的三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,∴當四面體D-ABC與四面體O-ABC一樣時,即四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直,此時點D,使四面體ABCD有三個面是直角三角形,故①正確;
②DC⊥平面OBC時,四面體DOBC的4個面都是直角三角形,故②正確;
③根據(jù)對稱性,可知,在平面ABC的兩側均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐,故③不正確;
④使得D與平面ABC的距離等于O與平面ABC的距離的點有無數(shù)個,故④不正確;
⑤取BD=AB,CD=AC,AD=BC,AD中點E,可得BE⊥AD,CE⊥AD,從而AD垂直面BEC,即存在無數(shù)個點D,使得AD與BC垂直且相等,故⑤正確;
綜上知,正確命題的序號為①②⑤
故答案為:①②⑤
點評:本題綜合考查空間幾何體的概念、線面關系,等價轉化的思想,較難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4cos2x-4
3
sinxcosx-2(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)設△ABC的內角A,B,C對應邊分別為a、b、c,且c=3,f(C)=-4,若向量
m
=(1,sinA)與向量
.
n
=(1,2sinB)共線,求a、b的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}中,首項a1=1,公比q=2,則{an}的前8項和S8=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

世衛(wèi)組織規(guī)定,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質量為二級;在75微克/立方米以上空氣質量為超標.清遠市環(huán)保局從市區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉),從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù),則恰有一天空氣質量達到一級的概率為
 
(用分數(shù)作答).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=-x2+4(0≤x≤2)的圖象與坐標軸圍成的平面區(qū)域記為M,滿足不等式組
2x-y≥0
2x+ay-2≤0
y≥0
的平面區(qū)域記為N,已知向區(qū)域M內任意地投擲一個點,落入?yún)^(qū)域N的概率為
3
32
,則a的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定價格進行試銷,得到數(shù)據(jù)如下表:
單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
銷量y(件) 90 84 83 80 75 68
根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b=-20,據(jù)此模型預報單價為10元時的銷量為
 
件.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,若對任意的n∈N*,都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=t(t為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列,t稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題:
①若{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}是比等差數(shù)列.
②若數(shù)列{an}滿足an=
2n-1
n2
,則數(shù)列{an}是比等差數(shù)列,且比公差t=
1
2
;
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列,等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列;
④若數(shù)列{cn}滿足c1=1,c2=1,cn=cn-1+cn-2(n≥3),則該數(shù)列不是比等差數(shù)列;
其中所有真命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

我們把離心率e=
5
+1
2
的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.如圖是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,c=
a2+b2
)的圖象,給出以下幾個說法:
①雙曲線x2-
2y2
5
+1
=1是黃金雙曲線;
②若b2=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線;
③若F1,F(xiàn)2為左右焦點,A1,A2為左右頂點,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線;
④若MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.
其中正確命題的序號為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

i是虛數(shù)單位,若復數(shù)Z=i(1+3i),則復數(shù)Z的虛部是(  )
A、-3B、3iC、1D、i

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