Question

我們把離心率e=

5 +1

2

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）稱(chēng)為黃金雙曲線．如圖是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，c=

a2+b2

）的圖象，給出以下幾個(gè)說(shuō)法：
①雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1是黃金雙曲線；
②若b²=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③若F₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④若MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金雙曲線的定義求解．

解答： 解：①雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1中，
∵e=

1+ 5 +1 2

1

=

5 +1

2

，
∴雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1是黃金雙曲線，故①正確；
②b²=ac，則e=

c

a

=

a2+ac

a

=

1+e

，
∴e²-e-1=0，解得e=

5 +1

2

，或e=

1- 5

2

（舍），
∴該雙曲線是黃金雙曲線，故②正確；
③如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，
B₁（0，b），B₂（0，-b），且∠F₁B₁A₂=90°，
∴B1F12+B1A22=A2F12，即b²+2c²=（a+c）²，
整理，得b²=ac，由②知該雙曲線是黃金雙曲線，故③正確；
④如圖，MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴

b2

a

=c，∴b²=ac，
由②知該雙曲線是黃金雙曲線，故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查黃金雙曲線的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．