Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
（1）求a₁+a₂+a₃；
（2）令b_n=a_n+

1

3

，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用遞推思想分別求出a₁=

1

2

，a₂=3，a₃=9，由此能求出a₁+a₂+a₃的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出a_n+

1

3

=4a_n-1+1+

1

3

=4（a_n-1+

1

3

），由此能證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）利用等比數(shù)列前n項和公式，能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a₂=4a₁+1=4×

1

2

+1=3，
a₃=4×3+1=13，
∴a₁+a₂+a₃=

1

2

+3+13=

33

2

．
（2）∵a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

3

=4a_n-1+1+

1

3

=4（a_n-1+

1

3

），
∴

an+ 1 3

an-1+ 1 3

=4，a1+

1

3

=

1

2

+

1

3

=

5

6

，
∵b_n=a_n+

1

3

，∴數(shù)列{b_n}是首項為

5

6

，公比為4的等比數(shù)列．
（3）∵數(shù)列{b_n}是首項為

5

6

，公比為4的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=

5 6 (1-4n)

1-4

=

5

18

(4n-1)．

點評：本題考查數(shù)列的前3項和的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意遞推思想的合理運用．