Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值以及對(duì)應(yīng)的x．
（2）求它單調(diào)增區(qū)間．
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式可得，當(dāng)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1+

3

2

，從而得出結(jié)論．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，∴當(dāng)2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈z，即x=kπ-

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1+

3

2

=

1

2

．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（3）把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位可得函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象向上平移

3

2

個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．