Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）+ln 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2且x1＜x2 ， 求證F（x2）＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）， = ，（x＞﹣1），
令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a．
①當(dāng)△＜0，即a 時(shí)，g（x）＞0，從而f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)△=0，即a= 時(shí)，g（x）≥0，此時(shí)f′（x）≥0，此時(shí)f′（x）在f′（x）=0的左右兩側(cè)不變號(hào)，
故函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)△＞0，即a＜ 時(shí)，g（x）=0的兩個(gè)根為 ， ，
當(dāng) ，即a≤0時(shí)，x1≤﹣1，當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，x1＞﹣1．
故當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣1， ）單調(diào)遞減，在（ ，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣1， ），（ ，+∞）單調(diào)遞增，
在（ ， ）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln ，∴F′（x）=f′（x），
∴當(dāng)函數(shù)F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)0＜a＜ ，0＜ ＜1，
故此時(shí)x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），
∴F（x2）= +aln（1+x2）+ln
= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，
設(shè)h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，其中﹣ ，
則h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），
由于﹣ 時(shí)，h′（x）＞0，
故函數(shù)h（x）在（﹣ ，0）上單調(diào)遞增，
故h（x）．h（﹣ ）= ．
∴F（x2）=h（x2）＞
【解析】（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）， = ，令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a．由根的判斷式進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函數(shù)F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，0＜a＜ ，0＜ ＜1，由此推導(dǎo)出x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），F(xiàn)（x2）= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，能夠證明F（x2）＞ ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．