【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，證明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）取橢圓的左焦點(diǎn)，連、，由橢圓的幾何性質(zhì)知，則，設(shè)橢圓方程代入點(diǎn)即可求解（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為：，聯(lián)立方程組,消元得，寫出的斜率，同理得直線的斜率，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

（Ⅰ）如圖，取橢圓的左焦點(diǎn)，連、，由橢圓的幾何性質(zhì)知，則，得，

將點(diǎn)代入橢圓的方程得：，解得：

故橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

由圖可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立方程，消去得：，

，.

有

直線的斜率為：.

同理直線的斜率為：.

由

.

由上得直線與的斜率互為相反數(shù)，可得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于 的方程組，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得

，

從而證明.

試題解析：（（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，且；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；且，

所以在上當(dāng)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

故，

故.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上取兩點(diǎn)， 與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線方程為.

（1）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為多少？

（3）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表l所示：

表1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；

參考數(shù)據(jù)：

其中

參考公式：

對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，為了測(cè)量某一隧道兩側(cè)A、B兩地間的距離，某同學(xué)首先選定了不在直線AB上的一點(diǎn)C（中∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c），然后確定測(cè)量方案并測(cè)出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算．現(xiàn)給出如下四種測(cè)量方案；①測(cè)量∠A，∠C，b；②測(cè)量∠A，∠B，∠C；③測(cè)量a，b，∠C；④測(cè)量∠A，∠B，a，則一定能確定A、B間距離的所有方案的序號(hào)為（ ）

A.①③B.①③④C.②③④D.①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)集合， 是集合的所有子集組成的集合.若集合滿足對(duì)任意的映射，總存在，使得成立，其中，表示集合的子集的補(bǔ)集，為給定的正整數(shù).試求所有滿足上述條件的集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2018年11月5日至10日在上海的國(guó)家會(huì)展中心舉辦.國(guó)家展、企業(yè)展、經(jīng)貿(mào)論壇、高新產(chǎn)品匯集……首屆進(jìn)博會(huì)高點(diǎn)紛呈.一個(gè)更加開放和自信的中國(guó)，正用實(shí)際行動(dòng)為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺(tái)，展現(xiàn)推動(dòng)全球貿(mào)易與合作的中國(guó)方案.

某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端智能家居產(chǎn)品參展，供購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放中國(guó)市場(chǎng).已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬(wàn)美元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90美元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售收入為萬(wàn)美元,

（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)美元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷售收入-成本）

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

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