【題目】已知函數, .
(1)曲線在點處的切線平行于軸,求實數的值;
(2)記.
(i)討論的單調性;
(ii)若, 為在上的最小值,求證: .
【答案】(1);(2)(i)①若, , 在單調遞增;②若或,當時, ;當時, ;所以在單調遞減,在, 單調遞增;(ii)見解析.
【解析】試題分析:(1)先求得, ,由在處的切線平行于軸,得,從而可得實數的值;(2)(i)求出,分兩種情況討論的范圍,分別令求得的范圍,可得函數增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數的減區(qū)間;(ii)若, 在單調遞減,在單調遞增. ,令,利用導數研究函數的單調性,只需證明的最大值小于零即可.
試題解析:(1), ,
因為在處的切線平行于軸,所以,所以;
(2),
(i) ,
若,即時,則由得,當時, ;
當時, ;
所以在單調遞減,在單調遞增.
若,則由,得或,構造函數(),
則,由,得,
所以在單調遞減,在單調遞增,
,
所以(當且僅當時等號成立).
①若, , 在單調遞增;
②若或,
當時, ;當時, ;
所以在單調遞減,在, 單調遞增.
(ii)若, 在單調遞減,在單調遞增.
,令,則,
令, , 在單調遞減,
, ,所以存在唯一的使得,
所以在單調遞增,在單調遞減,故當時, ,
又,所以 ,
所以當時, .
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【題目】如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,給出以下命題:
①異面直線C1P與B1C所成的角為定值;
②二面角P-BC1-D的大小為定值;
③三棱錐D-BPC1的體積為定值;
④異面直線A1P與BC1間的距離為定值.
其中真命題的個數為________.
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【題目】若橢圓C1: 和橢圓C2: 的焦點相同且a1>a2.給出如下四個結論:
①橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點;
②;
③;
④a1-a2<b1-b2.
其中,所有正確結論的序號是( )
A. ②③④ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②③
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【題目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.
(I)討論f(x)的單調性;
(II)當a=1時,證明f(x)>f’(x)+對于任意的x∈[1,2] 恒成立。
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數方程]
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處,極軸與軸的非負半軸重合,直線的參數方程為(為參數),曲線的極坐標方程為.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)設, 分別是直線與曲線上的點,求的最小值.
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【題目】已知數列滿足, ,其中, , 為非零常數.
(1)若, ,求證: 為等比數列,并求數列的通項公式;
(2)若數列是公差不等于零的等差數列.
①求實數, 的值;
②數列的前項和構成數列,從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數列.試問:是否存在首項為的四項子數列,使得該子數列中的所有項之和恰好為2017?若存在,求出所有滿足條件的四項子數列;若不存在,請說明理由.
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【題目】某市縣鄉(xiāng)教師流失現象非常嚴重,為了縣鄉(xiāng)孩子們能接受良好教育,某市今年要為兩所縣鄉(xiāng)中學招聘儲備未來三年的教師,已知現在該市縣鄉(xiāng)中學無多余教師,為決策應招聘多少縣鄉(xiāng)教師搜集并整理了該市50所縣鄉(xiāng)中學在過去三年內的教師流失數,得到如表的頻率分布表:以這50所縣鄉(xiāng)中學流失教師數的頻率代替一所縣鄉(xiāng)中學流失教師數發(fā)生的概率.
(1)求該市所有縣鄉(xiāng)中學教師流失數不低于8的概率;
(2)若從上述50所縣鄉(xiāng)中學中流失教師數不低于9的縣鄉(xiāng)學校中任取兩所調查回訪,了解其中原因,求這兩所學校的教師流失數都是10的概率.
流失教師數 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
頻數 | 2 | 4 | 11 | 16 | 12 | 3 | 2 |
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【題目】設數列的首項為,前項和為,若對任意的,均有(是常數且)成立,則稱數列為“數列”.
(1)若數列為“數列”,求數列的通項公式;
(2)是否存在數列既是“數列”,也是“數列”?若存在,求出符合條件的數列的通項公式及對應的的值;若不存在,請說明理由;
(3)若數列為“數列”, ,設,證明: .
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