【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中, , 為非零常數(shù).

(1)若, ,求證: 為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列.

①求實(shí)數(shù), 的值;

②數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成數(shù)列,從中取不同的四項(xiàng)按從小到大排列組成四項(xiàng)子數(shù)列.試問:是否存在首項(xiàng)為的四項(xiàng)子數(shù)列,使得該子數(shù)列中的所有項(xiàng)之和恰好為2017?若存在,求出所有滿足條件的四項(xiàng)子數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)①, , .②, ,

【解析】試題分析:(1)利用等比數(shù)列定義證明,即尋找比例關(guān)系:利用 代入化簡(jiǎn)可得.最后說(shuō)明各項(xiàng)非零.(2)①令,2,3,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得 ,列出關(guān)于, 的二元一次方程組,解得, 的值;再驗(yàn)證滿足題意. ②先求數(shù)列的前項(xiàng)和,再討論四項(xiàng)奇偶性:三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)、或者一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù).將奇偶性代入化簡(jiǎn)討論,直至確定.

試題解析:解:(1)當(dāng), 時(shí), ,

.

,不然,這與矛盾,

為2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,

, .

(2)①設(shè) ,

,

,

對(duì)任意恒成立.

,2,3,解得, , .

經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意.

綜上, , , .

②由①知.

設(shè)存在這樣滿足條件的四元子列,觀察到2017為奇數(shù),這四項(xiàng)或者三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)、或者一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù).

1°若三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù),設(shè) , , 是滿足條件的四項(xiàng),

,

,這與1007為奇數(shù)矛盾,不合題意舍去.

2°若一個(gè)奇數(shù)三個(gè)偶數(shù),設(shè), , 是滿足條件的四項(xiàng),

, .

由504為偶數(shù)知, , , 中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)或者三個(gè)偶數(shù).

1)若, , 中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù),不妨設(shè), , ,

,這與251為奇數(shù)矛盾.

2)若, 均為偶數(shù),不妨設(shè), , ,

,繼續(xù)奇偶分析知, 中兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù),

不妨設(shè) , ,則 .

因?yàn)?/span>, 均為偶數(shù),所以為奇數(shù),不妨設(shè),

當(dāng)時(shí), , ,檢驗(yàn)得, , ,

當(dāng)時(shí), , ,檢驗(yàn)得 , ,

當(dāng)時(shí), , ,檢驗(yàn)得, ,

, , , 或者 , 或者, , 滿足條件,

綜上所述, , 為全部滿足條件的四元子列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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