【題目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)當a=1時,證明f(x)>f’(x)+對于任意的x∈[1,2] 恒成立。

【答案】(I)見解析;(II)見解析.

【解析】試題分析:Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),然后對a分類分析導函數(shù)的符號,由導函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性;
Ⅱ)令g(x)=x-lnx,h(x)=-1則f(x)-f′(x)=g(x)+h(x),利用導數(shù)分別求g(x)與h(x)的最小值得到f(x)-f’(x)>g(1)+h(2)=.

試題解析:

(I)解:函數(shù)的定義域為(0,+00),f’(x)=a-

F’(x)=

若a≤0時,x∈(0,1)時,f’(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增

x∈(1,+00)時,f’(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減。

當a>0時,f’(x)=)(x-

若0<a<2時,>1,

當x∈(0,1)或x∈(,+00)時,f’(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈(1,)時,f’(x)<0,f(x)單調(diào)遞減。

若a=2時,=1,早x∈(0,+00)內(nèi),f’(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;

若a>2時,0<<1,

當x∈(0,)或x∈(1,+00)時,f’(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈(,1)時,f‘(x)<0,f(x)單調(diào)遞減。

綜上所述;當a≤0時,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,f(x)在(1,+00)單調(diào)遞減。

當0<a<2時,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;f(x)在(1,)單調(diào)遞減

當a=2時,f(x)在(0,+00)單調(diào)遞增;

若a>2時,f(x)在(0,),(1,+00)單調(diào)遞增;

f(x)在(,1)單調(diào)遞減

(II)由(I)知,a=1時,f(x)-f’(x)=x-lnx+-(1-

=x-lnx+-1,x∈[1,2]

令g(x)=x-lnx,h(x)=-1,x∈[1,2],則f(x)-f’(x)=g(x)+h(x),

由g’(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1,當且僅當x=1時取得等號,

又h’(x)=,設(x)=-3x2-2x+6,則(x)在x∈[1,2]單調(diào)遞減,

因為(1)=1,(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0

使得x∈(1,x0)時,(x)>0,x∈(x0,2)時,(x)<0.

所以h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,2)上單調(diào)遞減;

由于h(1)=1,h(2)=,因此h(x)≥h(2)=,當且僅當x=2時取得等號

所以f(x)-f’(x)>g(1)+h(2)=,

即f(x)>f’(x)+對于任意的x∈[1,2]恒成立。

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