Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

（1）求實數(shù)m，n的值
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）奇函數(shù)在原點有定義時，f（0）=0，從而可求得n=0，而由f(

1

2

)=

2

5

可求出m；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，通過作差的方法證明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答： 解：（1）∵f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)
∴f（0）=0；
∴n=0；
∵f(

1

2

)=

2

5

；
∴

m 2

5 4

=

2

5

；
∴m=1；
（2）f（x）=

x

1+x2

；
設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

點評：考查奇函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)的方法與過程．