Question

【題目】某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，第一車間有工人200人，第二車間有工人400人，為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間（單位：min）分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分組）．

分組	頻數(shù)
[55，65）	2
[65，75）	4
[75，85）	10
[85，95]	4
合計(jì)	20

第一車間樣本頻數(shù)分布表

（Ⅰ）分別估計(jì)兩個(gè)車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間小于75min的人數(shù)；

（Ⅱ）分別估計(jì)兩車間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值，并推測哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高？（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）

（Ⅲ）從第一車間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人中，隨機(jī)抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時(shí)間小于65min的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（I）60,300;（II）第二車間工人生產(chǎn)效率更高.（III）見解析.

【解析】

（I）估計(jì)第一車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.估計(jì)第二車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）；（II）分別計(jì)算兩車間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值，再推測哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高；（III）由題得X可取值為0，1，2，再分別求出概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.

（I）估計(jì)第一車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.

估計(jì)第二車間生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人人數(shù)為（人）.

（II）第一車間生產(chǎn)時(shí)間平均值約為（min）.

第二車間生產(chǎn)時(shí)間平均值約為

（min）.

∴第二車間工人生產(chǎn)效率更高.

（III）由題意得，第一車間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時(shí)間小于65min的有2人，從中抽取3人，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

X可取值為0，1，2，

，

,

.

X的分布列為：

X	0	1	2
P

所以數(shù)學(xué)期望.