【題目】如圖,三棱柱中,四邊形是矩形,是的中點(diǎn),,,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)求銳二面角的平面角的大。
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)先由已知面面垂直證明平面,得,再在矩形中由勾股定理逆定理證明,從而可得線面垂直;
(2)由(1)知,,兩兩垂直,以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,用向量法求二面角.
解:(1)證明:∵平面平面,
平面平面,
又由四邊形是矩形知,,平面,
∴平面,
∵平面,
∴.
在中,,,
∴,
即,又,
∴平面.
(2)由(1)知,,兩兩垂直,分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,∴,,
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
令,得,即,
取為平面的一個(gè)法向量,
∴,
∴銳二面角的平面角的大小是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上的一點(diǎn),過且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,第一車間有工人200人,第二車間有工人400人,為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率,采用分層抽樣的方法抽取工人,并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間(單位:min)分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到下列統(tǒng)計(jì)圖表(按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分組).
分組 | 頻數(shù) |
[55,65) | 2 |
[65,75) | 4 |
[75,85) | 10 |
[85,95] | 4 |
合計(jì) | 20 |
第一車間樣本頻數(shù)分布表
(Ⅰ)分別估計(jì)兩個(gè)車間工人中,生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間小于75min的人數(shù);
(Ⅱ)分別估計(jì)兩車間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值,并推測(cè)哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高?(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)
(Ⅲ)從第一車間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人中,隨機(jī)抽取3人,記抽取的生產(chǎn)時(shí)間小于65min的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的準(zhǔn)線為,其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)B是拋物線C上橫坐標(biāo)為的一點(diǎn),若點(diǎn)B到的距離等于.
(1)求拋物線C的方程,
(2)設(shè)A是拋物線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),直線AO交直線于點(diǎn)M,拋物線C在點(diǎn)A處的切線m交直線于點(diǎn)N,求證:以點(diǎn)N為圓心,以為半徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),試討論方程的解的個(gè)數(shù);
(2)若曲線和上分別存在點(diǎn),,使得是以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且斜邊的中點(diǎn)在軸上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一片產(chǎn)量很大的水果種植園,在臨近成熟時(shí)隨機(jī)摘下某品種水果100個(gè),其質(zhì)量(均在l至11kg)頻數(shù)分布表如下(單位: kg):
分組 |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 15 | 45 | 20 | 10 |
以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率.
(1)由種植經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為,種植園內(nèi)的水果質(zhì)量近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.請(qǐng)估算該種植園內(nèi)水果質(zhì)量在內(nèi)的百分比;
(2)現(xiàn)在從質(zhì)量為 的三組水果中用分層抽樣方法抽取14個(gè)水果,再從這14個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè).若水果質(zhì)量的水果每銷售一個(gè)所獲得的的利潤分別為2元,4元,6元,記隨機(jī)抽取的3個(gè)水果總利潤為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附: ,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
討論函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù);
若函數(shù)與的圖象無交點(diǎn),設(shè)直線與的數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)P,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且,是方程的兩根,記的前n項(xiàng)和為.
(1)若,,依次成等差數(shù)列,求m的值;
(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,求n的最小值;
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