Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

1

2n

（n∈N），若b_n=log 

1

2

a_n²，且S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥5時(shí)，試證明a_nS_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)n≥5時(shí)，試證明a_nS_n＜1等價(jià)于證明當(dāng)n≥5時(shí)，

n(n+1)

2n

＜1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=5時(shí)，

5×6

25

=

15

16

＜1，命題成立．②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

k(k+1)

2k

＜1，推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命題也成立，由此能證明當(dāng)n≥5時(shí)，a_nS_n＜1總成立．

解答： 證明：∵a_n=

1

2n

（n∈N），∴b_n=log 

1

2

a_n²=2log

1

2

(

1

2n

)=2n，
∴S_n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1），
∵當(dāng)n≥5時(shí)，試證明a_nS_n＜1等價(jià)于證明當(dāng)n≥5時(shí)，

n(n+1)

2n

＜1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=5時(shí)，

5×6

25

=

15

16

＜1，命題成立．
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

k(k+1)

2k

＜1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

(k+1)(k+2)

2k+1

=

k(k+1)

2k+1

+

2(k+1)

2k+1

＜

1

2

+

k+1

2k

，
設(shè)cn=

n+1

2n

，則cn+1-cn=

n+2

2n+1

-

n+1

2n

=

-n

2n

＜0，
即{c_n}為遞減數(shù)列，
當(dāng)n≥5時(shí)，cn≤c5=

3

16

＜

1

2

，
∴

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命題也成立，
綜上①②，得當(dāng)n≥5時(shí)，a_nS_n＜1總成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．