Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=

1

2n

（n∈N），若b_n=log 

1

2

a_n²，且S_n是數列{b_n}的前n項和，當n≥5時，試證明a_nS_n＜1．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出當n≥5時，試證明a_nS_n＜1等價于證明當n≥5時，

n(n+1)

2n

＜1．用數學歸納法證明：①當n=5時，

5×6

25

=

15

16

＜1，命題成立．②假設n=k時命題成立，即

k(k+1)

2k

＜1，推導出當n=k+1時，

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命題也成立，由此能證明當n≥5時，a_nS_n＜1總成立．

解答： 證明：∵a_n=

1

2n

（n∈N），∴b_n=log 

1

2

a_n²=2log

1

2

(

1

2n

)=2n，
∴S_n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1），
∵當n≥5時，試證明a_nS_n＜1等價于證明當n≥5時，

n(n+1)

2n

＜1．
下面用數學歸納法證明：
①當n=5時，

5×6

25

=

15

16

＜1，命題成立．
②假設n=k時命題成立，即

k(k+1)

2k

＜1，
則當n=k+1時，

(k+1)(k+2)

2k+1

=

k(k+1)

2k+1

+

2(k+1)

2k+1

＜

1

2

+

k+1

2k

，
設cn=

n+1

2n

，則cn+1-cn=

n+2

2n+1

-

n+1

2n

=

-n

2n

＜0，
即{c_n}為遞減數列，
當n≥5時，cn≤c5=

3

16

＜

1

2

，
∴

(k+1)(k+2)

2k+1

＜1，命題也成立，
綜上①②，得當n≥5時，a_nS_n＜1總成立．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意數列的通項公式和前n項和公式的求法，注意數學歸納法的合理運用．