Question

已知函數(shù)y=

x2+2ax+3+2a

的值域?yàn)閇0，+∞），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：既然函數(shù)的值域是[0，+∞），則函數(shù)f（x）=x²+2ax+3+2a的函數(shù)值取遍所有的正實(shí)數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象與x軸相交或相切，因此△≥0，列出a的不等式解出s即為所求．

解答： 解：由題意函數(shù)y=

x2+2ax+3+2a

的值域?yàn)閇0，+∞），
∴f（x）=x²+2ax+3+2a的函數(shù)值取遍所有的正實(shí)數(shù)，又該函數(shù)圖象開口向上，
∴只需f（x）=x²+2ax+3+2a對(duì)應(yīng)方程得判別式△=（2a）²-4（3+2a）≥0，
即a²-2a-3≥0，
解得a≤-1或a≥3．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題的關(guān)鍵是函數(shù)f（x）=x²+2ax+3+2a的函數(shù)值能夠取遍所有的正實(shí)數(shù)，而非x²+2ax+3+2a≥0恒成立，借助于二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)該二次函數(shù)圖象與x軸相切或相交時(shí)才能滿足題意，所以判別式△≥0，解出a的值求解．