Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點C在空間直角坐標(biāo)系的原點處，頂點A、B、V分別在x、y、z軸上，D是AB的中點，且AC=BC=2，∠VDC=θ．
（Ⅰ）當(dāng)θ=

π

3

時，求向量

AC

與

VD

夾角α的余弦值的大小；
（Ⅱ）當(dāng)角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由已知條件求出

AC

=(-2，0，0)，

VD

=(1，1，-

6

)，由此能求出cosα．
（2）求出平面VAB的一個法向量，利用向量法能求出直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．

解答： 解：（1）由題設(shè)知：點V的坐標(biāo)為（0，0，

6

），
點A的坐標(biāo)為（2，0，0），點B的坐標(biāo)為（0，2，0），點D的坐標(biāo)為（1，1，0），
∴

AC

=(-2，0，0)，

VD

=(1，1，-

6

)，…．（2分）
∴

AC

•

VD

=-2，|

AC

|=2，|

VD

|=2

2

，…．（4分）
∴cosα=

AC • VD

| AC |•| VD |

=-

2

4

．…．（7分）
（2）由題意知

VD

=(1，1，-

2

tanθ)，
設(shè)平面VAB的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
由

AB • n =0 VD • n =0

，得

-2x+2y=0 x+y- 2 (tanθ)z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，

2

tanθ

)，…（10分）

BC

=(0，-2，0)，
設(shè)直線BC與平面VAB所成角為β，
則sinβ=|cos＜

n

，

BC

＞=|

2

2× 2(1+ 1 tan2θ )

|＜

2

2

，…（12分）
∴直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為（0，

π

4

）．…（14分）

點評：本題考查兩向量的夾角的余弦值的求法，考查直線與平面所成角的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．