Question

已知數(shù)列{a_n}，其中a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)學(xué)歸納法

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得，在

an+1+an-1

an+1-an+1

=n中，分別令n=1，2，3可求結(jié)果；
（2）由數(shù)列前四項(xiàng)可猜想a_n=n（2n-1），運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可證明．

解答： 解：（1）由題意得，a₂=6，

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a4+a3-1

a4-a3+1

=3，
得a₁=1，a₃=15，a₄=28．
（2）猜想a_n=n（2n-1）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
假設(shè)n=k時，有a_k=k（2k-1）成立，
則當(dāng)n=k+1時，有

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，
∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-k-1，a_k+1=（k+1）[2（k+1）-1]，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立，
∴對n∈N^*，a_n=n（2n-1）成立．

點(diǎn)評：該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．