Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求a，b
（2）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（3）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用極值的意義，建立方程，即可求a，b；
（2）確定函數(shù)的單調性，即可判斷f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（3）設切點坐標．利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，然后利用切線過原點，確定切點坐標即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f'（1）=f'（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0.

解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
若x∈（-1，1），則f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值．
（3）曲線方程為y=x³-3x，點A（0，16）不在曲線上．
設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足y0=

x

3 0

-3x0．
因f′(x0)=3(

x

2 0

-1)，故切線的方程為y-y0=3(

x

2 0

-1)(x-x0)
注意到點A（0，16）在切線上，有16-(

x

3 0

-3x0)=3(

x

2 0

-1)(0-x0)化簡得

x

3 0

=-8，解得x₀=-2．
所以，切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與極值，考查導數(shù)的幾何意義，要注意過點的切線和在點處的切線的不同．