【題目】如圖所示,平面ABC⊥平面BCDE,BC∥DE, ,BE=CD=2,AB⊥BC,M,N分別為DE,AD中點(diǎn).

(1)證明:平面MNC⊥平面BCDE;
(2)若EC⊥CD,點(diǎn)P為棱AD的三等分點(diǎn)(近A),平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ,求棱AB的長(zhǎng)度.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BM,ON,

由題意四邊形BMDC是菱形,∴O是BD中點(diǎn),

∵N是AD中點(diǎn),∴ON∥AB,

∵AB⊥BC,平面ABC⊥平面BCDE,∴AB⊥平面BCDE,

∴ON⊥平面BCDE,

∵ON平面MNC,∴平面MNC⊥平面BCDE


(2)解:以C為原點(diǎn),CE為x軸,CD為y軸,過(guò)C作平面BCDE的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A( ,﹣1,t),(t>0)由題意D(0,2,0),P( ,0, ),E(2 ,0,0),

D(0,2,0),M( ),B( ,0),C(0,0,0),

=( ,0, ), =( ), =( ,0), =( ),

設(shè)平面PMC的法向量 =(x,y,z),

,取x= ,得 =( ,﹣3,﹣ ),

設(shè)平面ABC的法向量 =(a,b,c),

,取a= ,得 =( ,0),

∵平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ,

∴|cos< >|= = = ,解得t=3.

∴棱AB的長(zhǎng)度為3.


【解析】(1)連結(jié)BM,ON,推導(dǎo)出ON∥AB,AB⊥平面BCDE,從而ON⊥平面BCDE,由此能證明平面MNC⊥平面BCDE.(2)以C為原點(diǎn),CE為x軸,CD為y軸,過(guò)C作平面BCDE的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出棱AB的長(zhǎng)度.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù), 的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),函數(shù),若關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形, , , .

(1)求證:平面平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩地相距200千米,汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過(guò)50千米/時(shí).已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比,比例系數(shù)為0.02;固定部分為50(元/時(shí)).
(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù),并指出定義域;
(2)用單調(diào)性定義證明(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并指出汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛可使全程運(yùn)輸成本最小?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)=log (x2﹣2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(﹣∞,0)
D.(﹣∞,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),2016年“雙十”天貓總成交金額突破1207億元.某購(gòu)物網(wǎng)站為優(yōu)化營(yíng)銷(xiāo)策略,對(duì)11月11日當(dāng)天在該網(wǎng)站進(jìn)行網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)且消費(fèi)金額不超過(guò)1000元的1000名網(wǎng)購(gòu)者(其中有女性800名,男性200名)進(jìn)行抽樣分析.采用根據(jù)性別分層抽樣的方法從這1000名網(wǎng)購(gòu)者中抽取100名進(jìn)行分析,得到下表:(消費(fèi)金額單位:元)

女性消費(fèi)情況:

消費(fèi)金額

人數(shù)

5

10

15

47

男性消費(fèi)情況:

消費(fèi)金額

人數(shù)

2

3

10

2

(1)計(jì)算,的值;在抽出的100名且消費(fèi)金額在(單位:元)的網(wǎng)購(gòu)者中隨機(jī)選出兩名發(fā)放網(wǎng)購(gòu)紅包,求選出的兩名網(wǎng)購(gòu)者恰好是一男一女的概率;

(2)若消費(fèi)金額不低于600元的網(wǎng)購(gòu)者為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,低于600元的網(wǎng)購(gòu)者為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表,并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為“是否為‘網(wǎng)購(gòu)達(dá)人’與性別有關(guān)?”

女性

男性

總計(jì)

網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

總計(jì)

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

,其中

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|+|x﹣a|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≥4的解集;
(2)不等式f(x)<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形, 底面, 是棱的中點(diǎn),

.

(1)求證: 平面

(2)如果是棱上一點(diǎn),且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知兩條直線l1:y=a和l2:y= (其中a>0),若直線l1與函數(shù)y=|log4x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)A,B,直線l2與函數(shù)y=|log4x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為 m,n.令f(a)=log4
(1)求f(a)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)a變化時(shí),求出f(a)的最小值,并指出取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案