Question

【題目】己知函數(shù)f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a為正實數(shù)，且為常數(shù)）
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx+ +1﹣a，

若f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

則a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），

令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故g（x）min=g（1）=2，

故0＜a≤2；

（2）解：若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，

即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，

①x≥1時，只需a≤（x+1）lnx恒成立，

令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），

則m′（x）=lnx+ +1，

由（1）得：m′（x）≥2，

故m（x）在[1，+∞）遞增，m（x）≥m（1）=0，

故a≤0，而a為正實數(shù)，故a≤0不合題意；

②0＜x＜1時，只需a≥（x+1）lnx，

令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），

則n′（x）=lnx+ +1，由（1）n′（x）在（0，1）遞減，

故n′（x）＞n（1）=2，

故n（x）在（0，1）遞增，故n（x）＜n（1）=0，

故a≥0，而a為正實數(shù)，故a＞0．

【解析】（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，問題轉化為a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；（2）問題轉化為（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通過討論x的范圍，結合函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．