已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，且f（
x
y
）=f（x）-f（y），若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．
考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：令0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1，由條件推出f（x）在（0，+∞）上遞增，令x=y=1得，求出f（1），由f（4）=2，求出
f（16），再由函數(shù)的單調(diào)性即可得到f（x）在[1，16]上的值域．
解答： 解：令0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1，
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，且f（
x
y
）=f（x）-f（y），
∴f（
x2
x1
）＞0，f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，
令x=y=1得，f（1）=f（1）-f（1）=0，
∵f（4）=2，∴f（4）=f（
16
4
）=f（16）-f（4），即f（16）=2f（4）=4．
∴f（x）在[1，16]上的最小值為0，最大值為4，
∴f（x）在[1，16]上的值域為[0，4]．
點評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查解決抽象函數(shù)的方法：賦值法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率分別為e1、e2的橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩個公共頂點為A、B，若P、Q分別為雙曲線C2和橢圓C1上不同于A、B的動點，且滿足
AP
+
BP
=λ（
AQ
+
BQ
）（λ∈R，|λ|＞1）．如果直線AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k1、k2、k3、k4．
（1）求證：e12+e22=2；
（2）求證：k1+k2+k3+k4=0；
（3）設(shè)F1、F2分別為橢圓C1和雙曲線C2的右焦點，若PF2∥QF1，求k12+k22+k32+k42的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=cos2（
π
4
x+
π
3
）+sin（
π
3
x+
π
6
），求該函數(shù)的周期．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1的中點，Q是棱A1D1的中點，R是棱CD的中點，C1Q與B1D1交于點E．
（Ⅰ）求證：C1Q∥面APD1；
（Ⅱ）求證：B1R⊥面APD1；
（Ⅲ）求三棱錐E-APD1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=ln（x2+1）-x2的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（1+2cosx，2+2cos2x）和點Q（cosx，-1），x∈R．
（Ⅰ）若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．
（Ⅱ）定義函數(shù)f（x）=
OP
•
OQ
，x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n，若其第K項滿足5＜ak＜8，那么k的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
2
2
，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上一動點P（x0，y0）關(guān)于直線y=2x的對稱點為P1（x1，y1），求3x1-4y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若變量x，y滿足
y≥1
3x+2y-11≤0
3x+y-7≥0
，則
xy
x2+y2
的取值范圍是
 
．

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