Question

8．已知二次函數f（x）滿足f（0）=0，且f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（1）求二次函數f（x）的解析式；
（2）若不等式mf（x）＞（m-1）（2x-1）對m∈[-2，2]恒成立，求實數x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的正數a、b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為$[\frac{1}，\frac{1}{a}]$，若存在，求出所有的正數a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據f（0）=0便可設二次函數f（x）=ax²+bx，而根據f（x+1）-f（x）=-2x+1便可求出a=-1，b=2，從而得出f（x）=-x²+2x；
（2）先由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得到（-x²+1）m+2x-1＞0，法1：該不等式在m∈[-2，2]上恒成立，從而看出需討論-x²+1等于0，大于0和小于0三種情況：-x²+1=0時，可判斷x=1滿足條件，而-x²+1＞0和-x²+1＜0時，根據一次函數的單調性，求函數（-x²+1）m+2x-1在m∈[-2，2]上的最小值，讓最小值大于0，這樣即可建立關于x的不等式，解不等式便可得出實數x的取值范圍；法2：設g（m）=（-x²+1）m+2x-1，利用一次函數的性質解決問題；
（3）根據題意知，函數f（x）和函數$y=\frac{1}{x}$至少有兩個交點，從而解方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$，看該方程是否有兩個不同正實根：若方程有兩個不同正實根，則存在正數a，b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為$[\frac{1}，\frac{1}{a}]$，并可得出a，b的值，否則不存在這樣的a，b．

解答 解：（1）f（0）=0，∴設f（x）=ax²+bx；
∴f（x+1）=a（x²+2x+1）+b（x+1）=ax²+bx+2ax+a+b；
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=-2}\\{a+b=1}\end{array}\right.$；
∴a=-1，b=2；
∴f（x）=-x²+2x；
（2）由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得，m（-x²+2x）＞（m-1）（2x-1）對任意m∈[-2，2]恒成立；
∴（-x²+1）m+2x-1＞0對m∈[-2，2]恒成立；
法1：①-x²+1=0，即x=±1時，顯然只有x=1滿足上面不等式成立；
②-x²+1＞0，即-1＜x＜1時，只需（-x²+1）•（-2）+2x-1＞0；
解得$x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$，或$x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$；
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜1$；
③-x²+1＜0，即x＜-1，或x＞1時，只需（-x²+1）•2+2x-1＞0；
解得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴$1＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴綜上得實數x的取值范圍為$（\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}）$；
法2：設g（m）=（-x²+1）m+2x-1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\\{g（2）=2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴實數x的取值范圍為（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（3）根據題意知方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$①至少有兩個不同的正根；
由上面方程得，x³-2x²+1=0；
∴（x³-x²）-（x²-1）=x²（x-1）-（x+1）（x-1）=（x-1）（x²-x-1）=0；
∴x=1，或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
∴方程①有兩個不同的正根$x=1，或x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴存在正數a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，使x∈[a，b]時，f（x）的值域為$[\frac{1}，\frac{1}{a}]$．

點評 考查二次函數的一般形式，多項式相等時，對應項的系數相等，以及一次函數的單調性，根據單調性定義求最值，解一元二次不等式，因式分解求高次方程的方法，以及反比例函數$y=\frac{1}{x}$在閉區(qū)間上的值域．