已知函數(shù)f(x)=sin2x+
3
sinxcosx+
1
2

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)自變量x的集合;
(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出在每一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.
分析:(1)利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)=sin(2x-
π
6
)+1,即可求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)自變量x的集合;
(3)由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)可求其單調(diào)遞增區(qū)間,由2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
(k∈Z)可求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解答:解:(1)∵f(x)=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x+
1
2
=sin(2x-
π
6
)+1,
∴f(x)的最小正周期T=
2
=π;
(2)當(dāng)2x-
π
6
=2kπ+
π
2
(k∈Z),
即x∈{x|x=kπ+
π
3
,k∈Z}時(shí),f(x)max=2;
當(dāng)2x-
π
6
=2kπ-
π
2
(k∈Z),
即x∈{x|x=kπ-
π
6
,k∈Z}時(shí),f(x)min=0;
(3)當(dāng)2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
即kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z),時(shí),f(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
(k∈Z),
即kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
(k∈Z)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
3
,kπ+
6
](k∈Z).
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,著重考查正弦函數(shù)的最值及單調(diào)性,考查分析與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對(duì)于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn
數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
2009
2010

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M,若存在實(shí)數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過(guò)s,則稱s是M的一個(gè)上界.已知e是無(wú)窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)a的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案